Vào năm 1900, tại Đại hội Toán học tổ chức tại Paris, nhà toán học người Đức David Hilbert đã có một bài thuyết trình với tiêu đề “Những bài toán (chưa được giải quyết) của Toán học” ( On the Problems of Mathematics). Hilbert với nhãn quan rộng lớn và thiên tài của mình, đã chỉ ra những điểm ngoặt quan trọng mang tính nền tảng về sự phát triển của toán học trong tương lai, và hơn thế, là nển tảng tư duy về thế giới. Trong bài thuyết trình của mình, Hilbert đưa ra những câu hỏi chưa được giải đáp trong lĩnh vực toán học, sau này được đưa vào trong kỷ yếu của hội nghị và được biết đến với cái tên “Những bài toán của Hilbert”. Bài toán thứ hai trong số đó, bài toán đặt ra về sự nhất quán của số học đã được giải quyết năm 1929 bởi một nhà toán học khi đó mới 23 tuổi, Kurt Godel. Lời giải này sẽ trở nên nổi tiếng với cái tên Định luật bất toàn của Godel, một trong những định luật quan trọng nhất về khoa học của loài người.
So với Einstein hay Heisenberg, cái tên Godel có vẻ không đại chúng bằng. Chí ít thì hai cái tên đầu vẫn xuất hiện trong hầu hết các giáo trình đại học của các ngành kỹ thuật. Còn tên của Godel thì thậm chí còn ít xuất hiện ngay cả trong những giáo trình của ngành toán học.
Nói chính xác thì công trình của Godel gồm có định luật bất toàn thứ nhất và thứ hai. Định luật bất toàn thứ nhất của Godel nói rằng một lý thuyết số học bất kỳ nếu nhất quán thì không đầy đủ, theo nghĩa hệ thống này không thể chứng minh tính đúng đắn nếu chỉ sử dụng những tiên đề trong hệ thống đó. Định luật bất toàn thứ hai là một mở rộng của định luật đầu tiên, tuyên bố rằng với mọi lý thuyết số học nhất quán, những chứng minh cho sự nhất quán này không thế là một phần của lý thuyết đó, có nghĩa là một tập các tiên đề khác phải được sử dụng để chứng minh cho sự nhất quán này. Nói đơn giản, một hệ thống hình thức được xác định bằng một thuật toán, như một chương tr.nh máy tính, không thể đồng thời vừa nhất quán vừa đầy đủ.
Tính đầy đủ của một hệ số học là một khái niệm dễ hình dung bằng trực giác nhưng không dễ giải thích. Có thể hình dung nếu chúng ta có một hình tròn bao gồm cả đường viền. Chúng ta có một không gian đầy đủ. Nhưng nếu chúng ta bỏ đường viền của hình tròn đi, mà chỉ còn đề cập đến phần mặt phẳng bên trong hình tròn , thì chúng ta có một không gian không còn đầy đủ. Không gian đó không còn đầy đủ. Hay đơn giản hơn, nếu chúng ta bỏ đi một điểm trên hình tròn đó, một điểm duy nhất, (tựa như dùng kim châm một cái lỗ vậy), chúng ta còn lại một không gian không đầy đủ.
Khái niệm này được chính xác hóa trong toán học thông qua một khái niệm rất cơ bản và thông dụng là dãy hội tụ (đến một điểm). Chẳng hạn quay trở lại với hình tròn đó bỏ đi đường viến chúng ta có thể thiết lập một dãy điểm nằm trong hình tròn tiến sát đến biên hình tròn bao nhiêu cũng được, nhưng đích đến của dãy điểm, tức điểm hội tụ, là một điểm nằm trên đường viền, lại không thuộc không gian đó. Nếu chúng ta thêm lại vào hình tròn đường viền của nó, vây mọi dãy hội tụ sẽ hội tụ đến một điểm hoặc nằm trong hình tròn hoặc nằm trên đường viền, đều thuộc không gian đang xem xét và ta có một không gian đầy đủ. Tính đầy đủ của một không gian đảm bảo sự nhận thức của mỗi đối tượng nằm trọn vẹn trong không gian đó.
Tính nhất quán thì dễ hình dung hơn. Một hệ tiên đề sẽ nhất quán nếu các suy diễn không dẫn đến các kết luận trái ngược nhau, hay ta gọi là không có mâu thuẫn nội tại.
Tại sao tính đầy đủ và nhất quán của một hệ số học lại quan trọng (trong sự phát triển của toán học và trong nhận thức luận) với nhiều người? Các con số, trong lịch sử loài người đóng một vai trò rất đặc biệt. Chúng ta có thể nhìn vào trình độ sử dụng các con số của một nền văn minh như nhìn vào một tấm gương soi để biết trình độ phát triển của nền văn minh đó. Số, ở dạng sơ khai nhất, dùng để đếm. Nó phản ánh một cái gì khác hơn là một giá trị tự thân. Chức năng này đã đủ thỏa mãn những người Babylon cổ đại giúp họ đếm được số cừu của mình. Nhưng khi những thương nhân cổ đại đã bắt đầu tiến hành những cuộc mua bán tính bằng số nô lệ cộng với số đầu gia súc đổi lấy muối, kỳ thực họ đang thực hiện phép cộng những vector, những số “đặc biệt” không còn dùng để đếm nhưng tuân thủ đủ các tiên đề về một hệ thống số như luật giao hoán, luật phân phối hay sự tồn tại của phần tử 0. Các con số ban đầu thường không mang giá trị tự thân, mà nó dùng để phản ánh một điều gì khác ngoài nó. Sự ánh xạ của các con số lên thế giới thực là một phương tiện cơ bản giúp con người nhận thức thế giới.
Theo một cách tương tự, trong công trình của mình, Godel đã đề xuất ra một cách đánh số các tiên đề, làm cho mối quan hệ giữa các tiên đề cũng y hệt như mối quan hệ giữa các con số. Cách đánh số này thú vị và nổi tiếng với tên gọi là kỹ thuật đánh số Godel.
Vậy định luật của Godel nói lên điều gì? Nó cho thấy mọi hệ thống do con người xây dựng nhiều nhất chỉ đảm bảo sự không mâu thuẫn nội tại chứ không tự thân nó tạo nên chân lý. Nói cách khác, chân lý không phải do con người dựng nên, hoặc chí ít người ta không thể tự chứng minh được, mà luôn phải dựa vào một điều đúng đắn đã tồn tại trước đó, vượt ra ngoài ý muốn của bất kỳ ai.
Một trong những thứ làm cho toán học trở nên quyến rũ, là nó cho chúng ta một công cụ hình thức để phát minh lại thế giới hoặc mô tả lại thế giới theo cách của riêng chúng ta một cách logic nhất quán và đầy đủ. Nhưng định luật bất toàn của Godel đã phá bỏ nốt thành trì cuối cùng đó. Và hơn thế nó đẩy toán học về gần với các môn khoa học khác, như là một khoa học khám phá hơn là phát minh.
Godel mất năm 1978, do bị đói. Bị ám ảnh do nỗi sợ bị đầu độc, ông chỉ ăn thức ăn do vợ mình nấu. Khi Adele, vợ ông, đi viện và không thể nấu cho chồng mình nữa, Godel cũng dừng lại không chịu ăn gì nữa. Ông mất với trọng lượng cơ thể là 30kg.
Nhìn lại ba định luật khoa học quan trọng nhất của nhân loại cho tới hiện tại, chúng ta sẽ nhận ra một sự thật khá hoang mang rằng, ba định luật nền tảng về nhận thức luận này đều nói về sự không chắc chắn. Chúng ta có định luật đầu tiên chi phối vũ trụ và không-thời gian là thuyết tương đối của Einstein. Để hiểu thế giới ở mức vi mô, trong thế giới lượng tử chúng ta có định luật bất định của Heisenberg. Và cuối cùng, trong thế giới của những con số và tư duy, lãnh địa cuối cùng tưởng chừng như là sản phẩm sáng tạo của loài người, thế giới này cũng không chắc chắn hơn khi mà định luật của Kurt Godel nói lên tính không đầy đủ (bất toàn) của những lập luận logic, hay nhấn mạnh vào tính bất khả tri của chân lý.
Nếu đọc hết bài này, bạn vẫn thấy quá khó hiểu với mệnh đề Godel và những suy luận, diễn giải xung quanh đó thì đừng quá lo lắng, vì xét cho cùng, cả những bộ óc thông minh nhất cùng thời với Godel như Bertran Russell hay Wittgenstein cũng không hiểu nổi công trình của Godel. Nhưng dù sao, những đóng góp về tư tưởng của Godel cũng đã được tưởng thưởng xứng đáng. Năm 1999, trong một cuộc thăm dò ý kiến bạn đọc của tạp chí Time về 20 nhà tư tưởng có ảnh hưởng lớn nhất thế kỷ 20, Gödel, người thường được mô tả là “nhà logic quan trọng nhất kể từ Aristotle”, xếp thứ chín, trước nhà kinh tế học Keynes, hai nhà khoa học phát hiện ra cấu trúc DNA - Watson và Crick, và cha đẻ của mạng toàn cầu, Tim Berners-Lee. Einstein dẫn đầu danh sách này.
Dầu vậy, có lẽ thì thoảng chúng ta vẫn cần tự nhắc nhở mình nhớ rằng trí tuệ là bông hoa đẹp nhất mà loài người mang đến trái đất. Dù rằng để chờ những bông hoa đó nở, đôi khi chúng ta có cảm giác tựa như đang chờ Godot vậy.
Tạp chí Nhà Quản Lý
